Eşitlik ve Denklem
7. Sınıf · Matematik · 3. Ünite · 9 sayfa
1. Cebirsel İfadelerin Temel Kavramları
Cebirsel ifadeler, içinde en az bir bilinmeyen (değişken) ve işlem içeren ifadelerdir. Bu ifadeleri anlamak için belirli anahtar kavramların bilinmesi esastır:
| Kavram | Tanım | Örnek (2x^2 + 3x + 7 üzerinden) |
|---|---|---|
| Değişken (Bilinmeyen) | İfadede sayısal değeri bilinmeyen harfler. | x |
| Terim | Toplama veya çıkarma işlemleriyle birbirinden ayrılan her bir parça. | 2x^2, 3x, 7 |
| Katsayı | Terimlerin önünde bulunan, değişken ile çarpım durumundaki sayılar. | 2, 3, 7 |
| Sabit Terim | Yanında değişken (harf) bulunmayan, değeri değişmeyen terim. | 7 |
| Benzer Terim | Değişkenleri ve bu değişkenlerin kuvvetleri (dereceleri) aynı olan terimler. | 3x ile -2x benzerdir; ancak x^2 ile x benzer değildir. |
Önemli Notlar:
Bir cebirsel ifadede x yazıyorsa bu aslında 1x demektir; -x ise -1x olarak kabul edilir.
Benzer olmayan terimler arasında toplama veya çıkarma işlemi yapılamaz (Örn: x^2 + x toplanamaz, olduğu gibi kalır).
2. Cebirsel İfadelerde İşlemler ve Modelleme
Toplama ve Çıkarma İşlemleri
Cebirsel ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yalnızca benzer terimler arasında yapılır. Katsayılar kendi aralarında işleme sokulurken, değişken aynen yazılır.
- Modelleme
- İşlemler genellikle x, 1 ve -1 pulları kullanılarak görselleştirilir. Örneğin, +1 ve -1 pulları bir araya geldiğinde birbirini nötrleyerek sıfır oluşturur.
- Çıkarma Stratejisi
- Çıkarma işlemi, "toplamaya çevirme" yöntemiyle yapılabilir. Eksilen ifadeden sonra gelen parantez içindeki tüm terimlerin işaretleri değiştirilir (artılar eksi, eksiler artı olur) ve ardından toplama işlemi yapılır.
Çarpma İşlemi (Dağılma Özelliği)
Bir doğal sayı ile cebirsel ifade çarpılırken, dışarıdaki sayı parantez içindeki her bir terimle tek tek çarpılır.
- Örnek
- 3(x + 4) = 3x + 12
- Dikkat Edilmesi Gerekenler
- Parantez önünde eksi işareti varsa (Örn: -(x - 4)), bu -1 ile çarpmak demektir ve içerideki tüm işaretleri tersine çevirir.
3. Örüntüler ve Genel Kural Oluşturma
Sayıların veya şekillerin belirli bir kurala göre dizilmesine örüntü denir. Örüntünün herhangi bir adımındaki sayıyı bulmak için "genel kural" (n-inci terim) oluşturulur.
Genel Kural Bulma Adımları:
- Artış Miktarını Belirleme
- Örüntünün ardışık terimleri arasındaki fark bulunur. Bu miktar n değişkeninin önüne katsayı olarak yazılır (Örn: 3'er artıyorsa 3n).
- İlk Terime Göre Düzenleme
- n yerine 1 yazıldığında örüntünün ilk terimini vermesi için 3n ifadesine ne eklenmesi veya çıkarılması gerektiği hesaplanır.
- Örnek
- 4, 7, 10... örüntüsünde artış 3'tür (3n). İlk terim 4 olduğu için 3(1) = 3 olur; 4'e ulaşmak için +1 eklenir. Genel kural: 3n + 1.
4. Eşitlik ve Denklem Çözme
Denklem, içinde bilinmeyen bulunan bir eşitliktir. Denklemin temel mantığı "eşit kollu terazi" dengesidir.
Eşitliğin Korunumu İlkesi
Terazinin dengesinin bozulmaması için yapılan işlem her iki kefeye de aynı şekilde uygulanmalıdır:
Eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir.
Eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılabilir veya sıfırdan farklı bir sayıya bölünebilir.